Référence :          réimpression, par les éditions Jacques Gabay, d'une édition critique de l'ouvrage
« Les Fondements de la Géométrie, par David HILBERT » (« Grundlagen der Geometrie »,traduction par
B.G. Teubner Verlag), avec introduction et compléments, préparée par Paul ROSSIER, professeur honoraire
à l'université de Genève et publiée chez Dunod, Paris, en 1971, avec le concours du C.N.R.S.

Les remarques en italique sont de moi. Tout le reste est composé de textes de David Hilbert, extraits de l’ouvrage cité en référence,
qui s’appuie lui-même sur la 10e édition de ses « Fondements de la Géométrie » :

la première édition remonte à 1899, la 10ème date de 1968, avec de nombreuses modifications !

 

Premier groupe d’axiomes : appartenance.

Les axiomes de ce groupe expriment un lien entre les notions de point, de droite et de plan.

(I, 1)        Il existe une droite liée à deux points donnés A et B à laquelle appartiennent ces deux points.

(I, 2)        Il n'existe pas plus d'une droite à laquelle appartiennent deux points  A et B.

Ici comme plus bas, par deux, trois, … points, droites ou plans respectivement,
nous entendons toujours des points, droites ou plans différents.

(I, 3)        Sur une droite, il y a au moins deux points ; il existe au moins trois points non-alignés.

 (I, 4)       Il existe un plan α lié à trois points non-alignés A, B, C auquel appartiennent ces trois points A, B, C.

(I, 5)        Il n'existe pas plus d'un plan auquel appartiennent  trois points non-alignés A, B, C.

(I, 6)        Si deux points A, B d'une droite a  appartiennent à un plan α tous les points de la droite appartiennent à ce plan α.

(I, 7)        Si deux plans α  et β ont un point  A commun, ils en ont encore au moins un autre  B.

(I, 8)        Il existe au moins quatre points non coplanaires.

 

Deuxième groupe d’axiomes : ordre.

Les axiomes de ce groupe définissent le terme « entre » ;
si l'on s'appuie sur la relation ainsi déterminée, ils permettent d'établir l'ordre des points alignés, coplanaires ou situés dans l'espace.

(II, 1)       Si un point B est entre un point A et un point C, les points A, B C, appartiennent à une droite et B est aussi entre C et A.

(II, 2)       Deux points A et C étant donnés, il existe au moins un point B appartenant à la droite AC et tel que C soit entre A et B.

(II, 3)       De trois points d'une droite, il n’y en a pas plus d'un qui est entre les deux autres.

En plus de ces axiomes linéaires de l'ordre, nous aurons besoin d'un axiome plan de l'ordre.

(II, 4)       Soient A, B et C trois points non-alignés et a une droite du plan ABC qui ne passe par aucun des points A, B et C ;
                si la droite a passe par l'un des points du segment AB, elle passe ou par un point du segment BC ou par un point du segment AC.

                M. PASCH, le premier, a étudié ces axiomes de façon détaillée dans son ouvrage Vorlesungen über neuere Geometrie.
                L'axiome (II, 4) lui est dû.

 

Troisième groupe d’axiomes : congruence.

Les axiomes de ce groupe définissent la notion de congruence et, par là, celle de déplacement.
.

(III, 1)      Si A et B sont deux points d'une droite a et A’ un point de cette droite ou d'une autre droite a’ :
                sur a’, d'un côté donné de A’, on peut trouver un point B’ tel que le segment AB soit congruent (ou égal) au segment A’B’;
                nous écrivons cette relation AB      A’B’.

(III, 2)      Si un segment A’B’ et un segment A’’B’’ sont congruents à un même segment AB,
                le segment A’B’ est congruent au segment A’’B’’ ;
                en bref, si deux segments sont congruents à un troisième, ils sont congruents entre eux.

(III, 3)      Soient AB et BC deux segments sans points communs portés par la droite a d'une part,
                A’B’ et B’C’ deux segments de la droite a’ aussi sans points communs ;
                si AB   A’B’ et BC   B’C’, alors AC   A’C’.

Le report des angles est traité exactement comme celui des segments.
En plus de la possibilité du report, son univocité doit être posée axiomatiquement ; la transitivité et l’additivité sont démontrables.

Note : avant l'énoncé de l'axiome suivant, Hilbert définit un angle comme l'ensemble formé de deux demi-droites h et k d'un plan α,
issues d'un point O, différentes et appartenant à des droites différentes. Il désigne cet angle par  
  (h,k) ,  ou par     (k,h).
Il définit ensuite l'intérieur de l'angle comme la partie convexe de α , limitée par h et k... Mais il ne le dit pas comme ça !

(III, 4)      Soient un angle (h,k) d'un plan α et une droite a’ d'un plan α’ ainsi qu'un côté donné de a’ de α’.
                Désignons par h’ une demi-droite portée par a’ issue du point O’. Dans le plan α’ il existe une unique demi-droite k’
                telle que l’angle (h,k) est congruent, ou égal, à l'angle (h’,k’) et dont l'intérieur est du côté donné de la droite a’.
                En résumé,         (h,k)      (h’,k’).

 

Quatrième groupe d’axiomes : parallèles.

Note 1: avant l'énoncé de l'axiome suivant, Hilbert démontre que si a est une droite d'un plan α, et A est un point de ce même plan,
mais n'appartenant pas à a, il est possible de déterminer dans le plan α une droite qui contient A et qui ne coupe pas a.

Il définit alors deux droites parallèles comme deux droites coplanaires qui ne se coupent pas.

Note 2: oui, il n'y a bien qu'un seul axiome dans ce « groupe » !

L’axiome des parallèles a la teneur suivante :

(IV)          Axiome d'Euclide.  Soient une droite a et un point A extérieur à a :
                                                    dans le plan déterminé par a et A, il existe au plus une droite qui passe par A et qui ne coupe pas a.

Il résulte de ce qui précède et de l'axiome des parallèles que, par un point extérieur à une droite, il passe une unique parallèle à cette droite.

 

Cinquième groupe d’axiomes : continuité.

(V, 1)      Axiome de la mesure, ou d'Archimède.
                                                   
Si AB et CD sont deux segments quelconques,
                                                    il existe un nombre entier n tel que le report du segment CD répété n fois à partir de A
                                                    sur la demi-droite déterminée par B conduit à un point situé au-delà de B.

(V, 2)      Axiome de l'intégrité linéaire.
                                                   
L'ensemble des points d'une droite, soumis aux relations d'ordre et de congruence,
                                                    n'est susceptible d'aucune extension dans laquelle sont valables les relations précédentes
                                                    et les propriétés fondamentales d'ordre linéaire et de congruence déduite des axiomes (I) à (III) et de l'axiome (V,1).


Une conséquence essentielle de l'axiome d'intégrité linéaire est le fait général suivant :

Théorème 32 : théorème de l'intégrité.     
                                                    Les éléments de la géométrie (les points, les droites et plans)
                                                    constituent un ensemble qui n'est susceptible d'aucune extension
                                                    si les axiomes d'appartenance, d'ordre, de congruence et l'axiome d'Archimède sont conservés.

 

Note : l'axiome d'intégrité n'apparaît pas dans la première édition des « fondements de la géométrie ».
           Hilbert disait de lui :
« la valeur de cet axiome, au point de vue des principes, tient donc à ce que l'existence de tous les points limites en est une conséquence
et que, par suite, cet axiome rend possible la correspondance univoque et réversible des points d'une droite et de tous les nombres réels.
D'ailleurs, dans le cours des présentes recherches, nous ne nous sommes servis nulle part de cet « axiome d'intégrité ».

Cet axiome apparaît également sous le nom d'axiome « de complétude », ou encore axiome de CANTOR (ou de CANTOR - DEDEKIND)
avec un énoncé différent - s'appuyant sur le principe des coupures de DEDEKIND -
exprimant que 
toute suite de segments emboîtés dont la longueur « tend vers 0 » converge en un point limite.

Permettez-moi pour conclure de revenir quelques secondes à «... Donc, d'après... ».
L'axiome d'intégrité n'y apparaît sous aucune forme :
ce n'est évidemment pas pour « faire comme Hilbert » (il est un soleil, je suis une bougie),
et ce n'est pas non plus un oubli ! Simplement, il ne me semblait pas avoir sa place dans un ouvrage qui ne fait qu'effleurer,
avec beaucoup de retenue, la notion de nombres réels…

Toutefois, une fois cet axiome accepté, tous les théorèmes que j'ai démontrés dans le cadre de mesures rationnelles
s'étendent très naturellement à des mesures irrationnelles.